완전제곱수 배열에서의 등차수열

완전제곱수 배열($1,4,9,16, ...$)에서 적당히 수를 뽑아서 등차수열을 만들 수 있을까?

유한한 수열의 예를 들면 $1^2$,$5^2$,$7^2$은 1,25,49로 항의 개수가 3개이고 공차가 24인 등차수열이다.

 

그렇다면 항의 개수가 무한한 수열은 어떨까?

답은 '만들 수 없다'이다.

이를 귀류법을 이용해 증명해보자.

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먼저 $a_1^2,a_2^2,a_3^2$ 가 등차수열을 이룬다고 하자. ($a_1,a_2,a_3$는 임의의 증가하는 자연수 배열)

두 항 사이의 공차는 같아야 하므로

$a_2^2-a_1^2=a_3^2-a_2^2$

$(a_2-a_1)(a_2+a_1)=(a_3-a_2)(a_3+a_2)$

이때, $a_2+a_1<a_3+a_2$ 이므로

$\therefore a_2-a_1>a_3-a_2$가 성립한다.

 

이제 $a_1^2,a_2^2,a_3^2,\dotsc$가 무한히 등차수열을 이룬다고 가정하자.

($a_1a_2,\dotsc$는 임의의 증가하는 자연수 배열)

앞에서 했던 것처럼 세 개의 항씩 묶어서 계산해보면

$a_2-a_1>a_3-a_2>a_4-a_3>a_5-a_4>\cdots$

다음과 같은 관계가 성립하는데 이때 $a_{n+1}-a_n$꼴의 수들은 자연수이다.

$a_2-a_1,a_3-a_2,\cdots$는 n이 커질수록 무한히 존재해야한다.

하지만 감소하는 자연수 배열이므로 유한할 수 밖에 없다.

모순이 발생했으므로 항의 개수가 무한한 등차수열은 만들 수 없다는 것이 증명되었다.

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그렇다면 완전제곱수 배열에서 항의 개수가 유한한 등차수열은 무수히 많을까?

 

사실 완전제곱수 배열에서 항의 개수가 4이상인 등차수열은 존재하지 않음을 증명할 수 있다.

https://arxiv.org/abs/0712.3850

Fermat's Four Squares Theorem

 

이 논문을 이해할 수준에 도달했을때 논문에 대한 설명을 더 추가해보려한다.