Minseob's Study Blog

"볼록사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합은 두 대각선의 길이의 곱보다 크거나 같다." 즉, 볼록사각형 $\square ABCD$에서$\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AC}\cdot\overline{BD} $가 성립한다. (단, 등호는 $\square ABCD$가 원에 내접할 때 성립한다.) 증명)

삼각형 ABC의 외접원 위의 한 점 X에서 이 삼각형의 세 변 또는 그 연장선에 내린 수선의 발 P, Q, R은 모두 한 직선 위에 있다. 증명) $\angle$XQP+$\angle$XQR=180°(a+b=180°) 임을 보인다. ① $\square$BPXQ는 원에 내접하므로 $\angle$XBP=$\angle$XQP=a (원주각) ② $\square$BACX는 원에 내접하므로 $\angle$XCA=$\angle$XBP=a (내대각) ③ $\square$QXCR은 원에 내접하므로 $\angle$XCR=$\angle$XQR=180° (대각의 합) 인데 $\angle$XCR=a,$\angle$XQR=b이므로 a+b=180°이다.