수학 10

선형대수학 미리보기

이 글은 POSTECH AI CAMP에 참여하여 연구원님께 수업받으며 간단하게 내용을 정리한 것이다. 틀린 내용이 있을 수 있으며, 수학적으로 엄밀하지 않을 수 있음을 미리 밝힌다. 선형대수학 이란? 선형 : 직선(일차의) 대수학 : 방정식을 공부하는 학문 -> 연립 일차 방정식 차원 차원 : 어느 지점을 설명하는데 필요한 정보의 숫자벡터를 설명하기 위해 필요한 원소의 개수 기저(basis) : 벡터를 표현 하기 위한 기본단위 ex) 2차원에서 벡터를 표현하려면 두 개의 기저가 필요함 벡터 공간 벡터 공간 : 덧셈과 스칼라곱 연산으로 이루어진 집합. 이때 이 원소들을 벡터라고 정의함 벡터의 덧셈 $X=[a_1 , a_2] , Y=[b_1,b_2]$ $X+Y=[a_1+b_1,a_2+b_2]$ 벡터의 크기(..

최적화 방법

최적화(optimization) 문제 어떤 목적함수(objective function)의 함수값을 최소화(혹은 최대화)시키는 파라미터(변수) 조합을 찾는 문제이다. 최적화 원리 최적화 문제를 최소화 문제로 한정했을때, 현재 위치에서 함수값이 감소하는 방향으로 조금씩 파라미터 값을 이동하는 것을 반복하여 함수값이 최소화 되는 지점을 발견하는 것이다 . 기본적인 반복 최적화 방법에는 뉴턴 방법 , 경사하강법 이 있다. 이 글에서는 각 방법을 단일변수 함수에 한정지어 식을 설명할 예정이다. 1. 뉴턴 방법 $x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}, k=1,2,…$ 초기값 $x_1$에서 시작해서 위 수식에 따라 x를 이동시켜 나가서 x값의 변화가 거의 없을 때까지 반복하는 것이..

수학 2022.08.24

완전제곱수 배열에서의 등차수열

완전제곱수 배열($1,4,9,16, ...$)에서 적당히 수를 뽑아서 등차수열을 만들 수 있을까? 유한한 수열의 예를 들면 $1^2$,$5^2$,$7^2$은 1,25,49로 항의 개수가 3개이고 공차가 24인 등차수열이다. 그렇다면 항의 개수가 무한한 수열은 어떨까? 답은 '만들 수 없다'이다. 이를 귀류법을 이용해 증명해보자. 먼저 $a_1^2,a_2^2,a_3^2$ 가 등차수열을 이룬다고 하자. ($a_1,a_2,a_3$는 임의의 증가하는 자연수 배열) 두 항 사이의 공차는 같아야 하므로 $a_2^2-a_1^2=a_3^2-a_2^2$ $(a_2-a_1)(a_2+a_1)=(a_3-a_2)(a_3+a_2)$ 이때, $a_2+a_1a_3-a_2$가 성립한다. 이제 $a_1^2,a_2^2,a_3^2,\dot..

수학 2021.10.30

간단한 무리부등식의 일반화

심화수학 I 수업에서 무리부등식의 해를 구하는 개념을 배운 후 헷갈렸던 간단한 형태의 무리부등식을 직접 일반화해보고 싶어 졌다. https://www.mathcha.io/에서 직접 일반화된 해를 유도하는 과정을 작성한 후 이미지파일로 옮겨왔다. 일반화한 해는 위와 같다. $a-b$의 값에 따라서 실근의 형태가 달라지는 것이 흥미로웠다. 특히 근의 공식으로 결정된 범위의 해를 가지는 a,b의 범위가 $-\frac{1}{4}

수학/대수 2021.08.17

채색다항식

-그래프 정점(vertex) 집합과 간선(edge) 집합으로 이루어진 수학적 구조 -채색 그래프에서 같은 간선을 공유하는 정점을 서로 다른 색으로 칠하는 것 -그래프 $G$의 채색다항식 $=C_k(G)$ $k$개의 서로 다른 색을 사용하여 인접하는 두 정점은 같은 색이 아니게끔 그래프 $G$의 정점에 색칠하는 경우의 수 -채색수(chromatic number) $=\chi ( G)$ $C_k(G)\neq 0$ 을 만족하는 최소의 자연수 $k$값 ($C_k(G)$를 0에 가장 가깝게 하는 $k$) 영그래프 : 간선이 없는 그래프 영그래프의 채색다항식 $C_k(G)=K^n$ (인접한 정점이 없으므로 각 정점마다 k가지의 채색이 가능하다.) 영그래프의 채색수 $\chi ( G)$ $ = 1 $ (1가지의 색 ..

수학/조합 2021.07.18

진법 변환과 다항식 관련 흥미로운 문제

최고차항의 계수가 0이 아니고 음이 아닌 정수 계수의 다항식 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+···+a_1x+a_0$ 이 있다. $f(1)=a_n+a_{n-1}+···a_1+a_0=a$라 하자. 이때 $a>a_k (0 \leq k \leq n)$ 이 성립한다. $f(a)=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+a_{n-2}a^{n-2}+a_{n-3}a^{n-3}+···+a_1a+a_0$에서 $a>a_k$이므로 위 식은 $f(a)$의 값을 a의 지수로 표현한 값이된다. 따라서 $f(a)=a_na_{n-1}a_{n-2} \dotsc a_1a_0(a)$이다. (f(a)를 a진수로 나타내면 f(x)의 각 계수 $a_n,a_{n-1},a_{n..

수학/정수 2021.07.15

심슨의 정리

삼각형 ABC의 외접원 위의 한 점 X에서 이 삼각형의 세 변 또는 그 연장선에 내린 수선의 발 P, Q, R은 모두 한 직선 위에 있다. 증명) $\angle$XQP+$\angle$XQR=180°(a+b=180°) 임을 보인다. ① $\square$BPXQ는 원에 내접하므로 $\angle$XBP=$\angle$XQP=a (원주각) ② $\square$BACX는 원에 내접하므로 $\angle$XCA=$\angle$XBP=a (내대각) ③ $\square$QXCR은 원에 내접하므로 $\angle$XCR=$\angle$XQR=180° (대각의 합) 인데 $\angle$XCR=a,$\angle$XQR=b이므로 a+b=180°이다.

수학/기하 2021.07.10

프리드버그 선형대수학 1.1 개론

벡터(vector):크기와 방향을 모두 가진 물리량 벡터의 크기 : 화살표의 길이 벡터의 방향 : 화살표의 방향 벡터의 위치와 무관하게 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터이다 합성벡터 : 두 벡터의 합(sum) 벡터 합의 평행사변형 법칙(parallelogram law) 시점이 $P$로 일치하는 두 벡터 $x,y$의 합은 점 $P$에서 시작하는 벡터이고, 이는 $x$와 $y$를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타낸다 벡터의 합은 해석기하학의 도움을 받아 대수적으로 이해할 수 있다. 벡터 $x$의 종점을 ($a_1,a_2$), 벡터 $y$의 종점을 ($b_1,b_2$)라 하면 벡터 $x+y$의 종점은 ($a_1+b_1,a_2,+b_2$)이다. 또한 좌표상의 모든 벡터의 시점은 원점이라 가정한다...

선형대수학 공부계획

2021 1학기 2차고사가 끝나서 주변에 수학에 관심 있는 다른 친구들과 함께 선형대수학 공부를 시작해보려 한다. 아마도 공부 교재는 다음 책으로 할 것 같다. 프리드버그 선형대수학(5판)... 스티븐 H. 프리드버그 아놀드 J. 인셀 로렌스 E. 스펜스 http://www.yes24.com/Product/Goods/90460407 프리드버그 선형대수학 - YES24 선형대수학에서 대표적인 명저로 손꼽히는 프리드버그, 인셀, 스펜스의 선형대수학 번역서가 최초로 출간되었다. 4판(국제판)에 빠진 표준형(7장, Canonical Forms)을 다시 수록하였으며, 책의 표현 www.yes24.com 이 책의 차례는 다음과 같다. 1장 벡터공간 1.1 개론 1.2 벡터공간 1.3 부분공간 1.4 일차결합과 연립..