심슨의 정리

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삼각형 ABC의 외접원 위의 한 점 X에서 이 삼각형의 세 변 또는 그 연장선에 내린 수선의 발 P, Q, R은 모두 한 직선 위에 있다.

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by ipad

증명)

$\angle$XQP+$\angle$XQR=180°(a+b=180°)     임을 보인다.

① $\square$BPXQ는 원에 내접하므로 $\angle$XBP=$\angle$XQP=a (원주각)

② $\square$BACX는 원에 내접하므로 $\angle$XCA=$\angle$XBP=a (내대각)

③ $\square$QXCR은 원에 내접하므로 $\angle$XCR=$\angle$XQR=180° (대각의 합) 인데

$\angle$XCR=a,$\angle$XQR=b이므로 a+b=180°이다.