벡터(vector):크기와 방향을 모두 가진 물리량
- 벡터의 크기 : 화살표의 길이
- 벡터의 방향 : 화살표의 방향
벡터의 위치와 무관하게 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터이다
합성벡터 : 두 벡터의 합(sum)
벡터 합의 평행사변형 법칙(parallelogram law)
시점이 $P$로 일치하는 두 벡터 $x,y$의 합은 점 $P$에서 시작하는 벡터이고,
이는 $x$와 $y$를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타낸다
벡터의 합은 해석기하학의 도움을 받아 대수적으로 이해할 수 있다.
벡터 $x$의 종점을 ($a_1,a_2$), 벡터 $y$의 종점을 ($b_1,b_2$)라 하면
벡터 $x+y$의 종점은 ($a_1+b_1,a_2,+b_2$)이다.
또한 좌표상의 모든 벡터의 시점은 원점이라 가정한다. 이때 벡터 $x$의 종점을 간단히 $x$라 쓰기도 한다.
스칼라 곱(scalar multiplication)으로 벡터 크기의 확대, 축소를 표현할 수 있다.
원점을 시점으로 하는 벡터 $x$의 종점이 ($a_1,a_2$)일 때, $tx$의 종점은 $(ta_1,ta_2)$이다.
평면에서 벡터의 합과 스칼라 곱을 대수적으로 설명하면 다음 8가지 성질을 확인할 수 있다.
- 모든 벡터 $x,y$에 대하여 $x+y=y+x$이다.
- 모든 벡터$x,y,z$에 대하여 $(x+y)+z=x+(y+z)$이다.
- 모든 벡터 $x$에 대하여 $x+0=x$을 만족하는 벡터 $0$이 존재한다.
- 각 벡터 $x$마다 $x+y=0$을 만족하는 벡터 $y$가 존재한다.
- 모든 벡터 $x$에 대하여 $1x=x$이다.
- 모든 실수 $a,b$와 모든 벡터 $x$에 대하여 $(ab)x=a(bx)$이다.
- 모든 실수 $a$와 모든 벡터 $x,y$에 대하여 $a(x+y)=ax+ay$이다.
- 모든 실수 $a,b$와 모든 벡터 $x$에 대하여 $(a+b)x=ax+bx$이다.
이러한 8가지 성질을 만족하는 수학적 구조를 벡터공간(vector space)이라 한다.
시점이 $O$이고 종점이 $A,B$인 두 벡터를 $u,v$라고 했을 때
시점이 $A$이고 종점이 $B$인 벡터 $w$ 는 $u - v$이다.
두 점 $A,B$를 이은 직선 위 임의의 점은 $A$를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 $t$에 대하여 $tw$의 형태로 표현할 수 있다. 반대로, $A$를 시점으로 하는 벡터 $tw$의 종점은 두 점 $A,B$를 지나는 직선 위의 점이다.
따라서 두 점 $A,B$를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
| $x=u+tw=u+t(v-u)$ (단, $t$는 임의의 실수이고 $x$는 직선 위 임의의 점) |
공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $A,B,C$가 있을때
시점이 $A$이고 종점이 $B,C$인 두 벡터를 각각 $u,v$라 하자.
세 점 $A,B,C$로 이루어진 평면 위 임의의 점 $S$는 $A$를 시점으로 하고, $su+tv$형태(이때,$s$와 $t$는 임의의 실수)인 벡터 $x$의 종점이다.
따라서 세 점 $A,B,C$를 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
| $x=A+su+tv$ (단, $s,t$는 임의의 실수이고 $x$는 평면 위 임의의 점) |
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